質因數
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當一個正整數
p
{\displaystyle p}
既是質數，也是正整數
n
{\displaystyle n}
的因數，則我們稱
p
{\displaystyle p}
為
n
{\displaystyle n}
的質因數。
例如：
15
{\displaystyle 15}
的因數有
1
,
3
,
5
,
15
{\displaystyle 1,3,5,15}
，其中
3
,
5
{\displaystyle 3,5}
都是質數，故
3
,
5
{\displaystyle 3,5}
是
15
{\displaystyle 15}
的質因數。
習題
(
1
)
{\displaystyle (1)}
請列出所有
42
{\displaystyle 42}
的因數。[習題解答 4]
(
2
)
{\displaystyle (2)}
42
{\displaystyle 42}
的質因數有哪些？[習題解答 5]
質因數分解
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國小學過使用短除法將一個整數做質因數分解。而短除法的計算步驟如下：
1.如果
n
{\displaystyle n}
是質數則不用做以下的事情。
2.找出正整數
n
{\displaystyle n}
的質因數
p
{\displaystyle p}
，並計算
n
÷
p
{\displaystyle n\div p}
的結果，在
n
{\displaystyle n}
周圍畫出「L」，並將質因數
p
{\displaystyle p}
放置在「L」左邊，計算出來的商放置在「L」下層。
以
48
{\displaystyle 48}
做例子：
48
{\displaystyle 48}
的質因數有一個是
2
{\displaystyle 2}
，所以先用
2
{\displaystyle 2}
，而
48
÷
2
=
24
{\displaystyle 48\div 2=24}
，所以寫法是：
2
)
48
_
0
)
_
24
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\{\color {White}0{\underline {)}}}24\\\end{array}}}
3.如果上一步的結果為質數，那麼就結束；如果不是，就一直重複第2個步驟。
以
48
{\displaystyle 48}
做例子：
因為
24
{\displaystyle 24}
不是質數所以要繼續，
24
{\displaystyle 24}
的質因數有一個是
2
{\displaystyle 2}
，所以用
2
{\displaystyle 2}
除，而
24
÷
2
=
12
{\displaystyle 24\div 2=12}
，所以寫法是：
2
)
48
_
2
)
24
_
0
)
_
12
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\{\color {White}0{\underline {)}}}12\\\end{array}}}
因為
12
{\displaystyle 12}
不是質數所以要繼續，
12
{\displaystyle 12}
的質因數有一個是
2
{\displaystyle 2}
，所以用
2
{\displaystyle 2}
除，而
12
÷
2
=
6
{\displaystyle 12\div 2=6}
，所以寫法是：
2
)
48
_
2
)
24
_
2
)
12
_
0
)
0
_
6
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\2{\underline {)12}}\\{\color {White}0{\underline {)0}}}6\\\end{array}}}
因為
6
{\displaystyle 6}
不是質數所以要繼續，
6
{\displaystyle 6}
的質因數有一個是
2
{\displaystyle 2}
，所以用
2
{\displaystyle 2}
除，而
6
÷
2
=
3
{\displaystyle 6\div 2=3}
，所以寫法是：
2
)
48
_
2
)
24
_
2
)
12
_
2
)
0
6
_
0
)
0
_
3
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}2{\underline {)48}}\\2{\underline {)24}}\\2{\underline {)12}}\\2{\underline {){\color {White}0}6}}\\{\color {White}0{\underline {)0}}}3\\\end{array}}}
因為
3
{\displaystyle 3}
是質數所以結束了。
4.將所有「L」外圍(左邊與最下面)的數字寫成連乘法就完成質因數分解。
以
48
{\displaystyle 48}
為例，
48
=
2
×
2
×
2
×
2
×
3
{\displaystyle 48=2\times 2\times 2\times 2\times 3}
。
標準分解式
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由1-4 指數記法與科學記號單元知道相同數字連乘可以寫成指數的形式。將
n
{\displaystyle n}
的質因數分解表示成質因數由小到大排列且寫成質因數次方的形式，我們稱這樣的式子為
n
{\displaystyle n}
的標準分解式。
以
48
{\displaystyle 48}
為例，
48
=
2
×
2
×
2
×
2
×
3
=
2
4
×
3
{\displaystyle 48=2\times 2\times 2\times 2\times 3=2^{4}\times 3}
，
2
4
×
3
{\displaystyle 2^{4}\times 3}
稱為
48
{\displaystyle 48}
的標準分解式。
倍數判別法
编辑
在上面的說明當中，找出一個整數的質因數是相當難的事情。如
221
{\displaystyle 221}
的質因數是多少？或是RSA-155
39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603
{\displaystyle 39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603}
的質因數分解為何？
所以學習一些質數倍數的判別法就顯得相當重要。底下列出質數
2
,
3
,
5
,
11
{\displaystyle 2,3,5,11}
的質數判別法。其餘的質數判別法或是合數倍數判別法，可以參考整除規則。
質數
倍數判別法
例子
2
{\displaystyle 2}
末位數字為
0
,
2
,
4
,
6
,
8
{\displaystyle 0,2,4,6,8}
。
0
{\displaystyle 0}
是
2
{\displaystyle 2}
的倍數。[註 5]
3
{\displaystyle 3}
各位數字和為
3
{\displaystyle 3}
的倍數。
123456
{\displaystyle 123456}
是
3
{\displaystyle 3}
的倍數，因為
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
=
21
{\displaystyle 1+2+3+4+5+6=21}
，
21
{\displaystyle 21}
是
3
{\displaystyle 3}
的倍數。[註 6]
5
{\displaystyle 5}
末位數字為
0
,
5
{\displaystyle 0,5}
。
12345
{\displaystyle 12345}
是
5
{\displaystyle 5}
的倍數。
11
{\displaystyle 11}
個位數字為第
1
{\displaystyle 1}
位，十位數字為第
2
{\displaystyle 2}
位，百位數字為第
3
{\displaystyle 3}
位，……，依此類推，
奇數位數字和與偶數位數字相減的結果為
0
{\displaystyle 0}
或
11
{\displaystyle 11}
的倍數。
4
0
3
0
8
4
{\displaystyle {\color {red}4}{\color {blue}0}{\color {red}3}{\color {blue}0}{\color {red}8}{\color {blue}4}}
是
11
{\displaystyle 11}
的倍數，因為奇數位數字和為
4
+
0
+
0
=
4
{\displaystyle {\color {blue}4+0+0=4}}
，偶數位數字和為
8
+
3
+
4
=
15
{\displaystyle {\color {red}8+3+4=15}}
，
4
−
15
=
−
11
{\displaystyle {\color {blue}4}-{\color {red}15}=-11}
為
11
{\displaystyle 11}
的倍數。[註 7]
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